静电场中导体接地问题pdf

  静电场中导体接地问题 姜 涛 焦 静电场中导体接地问题 , 是求解静电问题的一个难点 , 学生在解这类问题时 , 往往对 所求结果执 ‘ 为什么 ” 的想法 。 请看下面一例 在一个半径分别为 和 ! 的带电 球壳 内 , 同心放一个半径为 ? 的接地中性导体球 # , ? % ? 求空间的电势分布以及中性导 体球上的净的感应电荷 ? 这样的一个问题可用电磁学知识求解 , 也可从 侍六 静电问题的一般理论求解 ? 前者的重点是 确定感应电荷的分布 ? 后者则是先从边值间 题出发 , 然后求出净的感应 电荷 ? 尽管出发点 不同 , 两种方法都可以从定量的方面求出接 地的中性导体 ( 的表面上净感应 电荷为 丁‘ ) ‘ ? 一一— — + 丁 ’ 一 夏 ‘ , 压 ‘ 既然接地中性导体球 ( 出现了净的感应电荷 ) ’ , 那么该带电过程是怎 样进 行的 它 是否与静电平衡时导体壳内的电场处处为零相矛盾 本文就这样的一个问题谈谈接地中性导体处 于不 同形式 的静 电场中 , 其表面是否会出现净的感应电荷问题 , 并由此得到一种定性分析 这种间题的方法 ? ? ‘目 ? 于非均匀电场中的接地导体 为了叙述方便 , 我们把接地中性导体 #即未接地前导体上 无 加 置电荷 , 简 称接地导 体 ? 我们考虑下面情况 设有一点电荷+ #+ . / , 它在周 围空间激发一 个 静电场 0 ‘ , 在 这个静电场 中置入一个中性导体 ( , 见图二 , 静电平衡后将 ( 一端接地 , 我们分析此时 ( 的表面出没出现净的感应电亘 · 我们大家都知道 , 由于静电场0 。 的作 用 , 导 体中的自由电子就逆着静电场方塑运动 , 于是 在 ( 的两端就积累了正负电荷 , 该感应电荷 ) ’ 在周 围空间激发一个 附加电场 0 ‘ 当电 荷口 ’ 积累到一定的程度 , 其附加电场0 ‘ 与外电场 0 。 共同作用 , 使 ( 内的电场处处为零 , 此时( 内无电荷运动了 , 我们叫做达到了静电平 衡 ? 由于施感电荷是点电荷 , 其 ) ‘ 激发的电场 0 尹对电荷+分布没影响 , 否则 , 感应电荷 ) ‘ 将影响施感电荷+的重新分布 , 以达到一 种新的稳态 。 值得指出的是 , ( 上净的感应 电荷仍为零 ? 我们把上述物理过程用下图简 单表示出 。 言 作用无导体( 出思了 激粤若 , 0 。 — , 习 阶“ 一1 ” 2 , 。 ( 内言2 言 , 言 , 静电平衡言 2 。 一1 二军0 3 万 。十 百 ‘ 二二‘几0 3 4 净电荷+ ‘ 二 。 设 ( 一端感应 电荷为 丫 , 则有 , 旧 5. 6丫 5 , 证 明见参考书〔7〕 , 此时从 +发出 的电 力线部分终止于 ( 的左端 , 另一部分终止于无穷远处 。 根据电力线总是指 向 电位 降落方 向 , 则有 , 甲+. 甲( . 甲 2 3 8 这就是说 , 中性导体( 处于 +的静电场中 , 其 电位由零上升到甲 ( , 现在我们再看看 ( 的接地问题 , 见图二 。 在分析接地问题时 , 我们应抓住接地时电位为零这个关键 ? 由于 ( 的电位降至零 , 此时 9 、 ( 之间 电位差 △甲1 甲 9 一 甲( 增大 , 另外 , 由于接地前后 9 、 ( 之 间的距离未变 , 由 “甲一 北苏 、 2 沂知 , 必须 , 、 。之间的电场强度增大 , 也即从 , 发出 电 电力线而终止于 ( 的电力线较未接地时增多 , 根据电力线的有源性 , 这个增多 的电力线和 原来终于左端的电力 线 , 就是由于接地而出现的净的感应电荷 。 换句话讲 , 由于接地 , 中 性导体 ( 在静 电场的帮助下与大地发生了电荷交换 , 使 ( 出现了净的感应 电荷 。 于是我们 有如下结论 。 〔结论 7 〕置于点电荷 电场中的接地导体 , 其表面一定会 出现净的感应 电荷 ? 令,, ? (一 比几三 仿照上面分析方法 , 我们可得出下面的一般结论 把一 个任意形状的带电体 , 移到接地的导体附近 , 这时 导体表面 将出现净的感应电荷 。 这里读者可考虑这样的一个问题 , 把中性导 置于静电场中 , 然后再接地与把接地的中性导体置于静电场 中 , 上述结论是否仍成立 ! 从上文我们大家可以看到 , 分析导体接地间题的重点是抓 住接地后电位为零这一事实 , 进而分析接地后导体周 围的电 场是否变化 , 如有变化 , 则接地必出现净感应电荷 反之无 净的感应电荷 我们用这种方法来分析下面一例 。 把一块原来不带电的导体板 ? 移近一块 已带电的导体板 # , 如图三 当 ? 板一侧接地后 , 我们分析 ? 上是否 出现净 的感应电荷 , 中性导 体 ? 移近 # 板时 , 由于静电 感 应 将 出现感应电 亡?》 龟夕%?口‘ 扫仆 加 每荷见图三 # : ? 使得 ( 的电位由零变到非零 ? 当 ( 板一侧接地后 , 其电位又由非零降至零 , 9 、 ( 之间电位 差 将 增 大 , 由 叭 , 3 0 ; 知 , 两板之间的电场强度增大 , 这就是说 , 从 9 板发出而 终于 ( 板的电力线较未接地时增多 , 一直增多到9 板左侧正电荷全部移到右侧 为止 , 见 图三# ? ? 于带电球宪内的接地导体 现在我们回到本文开始所提出的问题 , 见图一 首先我们假设 ( 未接地时 , 看看带电 球壳内放入一中性导体球的物理过程是怎样实现的 ? 第一种情况 , 是把中性导体球( 从壳 外移至球壳内 , 在移动过程中 , 由于静电感应 , 使 ( 的电荷分布改变 #净电荷仍为零 。 由前面分析知 , ( 球电位由零变到非零 , 且随着( 距球壳愈近 , 电位愈高 , 但 ( 的电位决 不会高于月的电位 , 不然 , 就会出现电力线 的现象 。 当 ( 移入球壳后 , ( 与 9 同电位 , 即甲 月一 甲 ? . / , 不然 , 就会 由于电位差而使壳内部出现电力线 #即电场 , 与 壳内无带电体时 , 壳内电场处处如零相矛盾 ? 另一种情况 , 就是用且来包围 ( , 此过程可用一七七三年卡文迪许用来测定库包定律 反平方律的实验来完成 , 具体过程见参考书〔= 〕 ? 在这样的一种情况下 , 用上述方法仍可得出9 与 ( 同电位的结论 ? 当( 接地时 , ( 的电位降至零 , 这样9 、 ( 之间电位差由零而增高 , 使得9 、 ( 之间 的电场强度0 由零变为非零 ? 即从 9 的内壁有电力线发出而终于 ( 球 , 这就是说 , ( 由于接 地而 出现了净感应电荷 ? 下面我们用两种方法来计算出净的感应 电荷 ) ‘ ? 方法 = 导体球壳9 、 ( 把空间分为二个 区域 , . ! , ? ? ? 在这两 个区域 内无 自由电荷分布 , 故满足 7: ? 7 : ? 。 方程 ? Α Β , 甲 Χ 3 Β , ?? % 3 . ! , ? ? % 我们采用球坐标系 , 即 印 3 甲# , / , 二 则知该问题的电位甲与极 角/以 及 方 位 角 Δ 无 关 , 而仅与 有关 ? 于是7: ? 7 : ? Ε 方程在球坐标系下的形式为 势 解得 谧 Α 印 ‘? 少 Φ 一去 #一 争 , 一。 。 , 互 . ! 甲 3 ? , 一 二 Γ ? ? 份 由于有四个待定系数 , 因此必须有四个关系式确定之 。 该间题的边界 条 件是 , ‘8 以 及 3 边界条件为 =舀Φ中甲 ‘ 、 两 区域的边值关系为 甲 6 一 ! 一 、 Φ Α ? ? 一 , 变 , 擎;Η, 龚鲁 ‘一。Ι ‘ 么 求这个定解间题 , 我们有 甲 3 尸 ! 一 7 ? 兀 Ε 4 = ? 兀 ? 4 一 互一 一 = , Η 一 = . ! , 2 + 了一 = 、 、 = 沪 Φ 一 — ? —— 一 石? , ? 兀 Ε 。 Κ 式 Φ Ι ? ? 详细过程见参考书〔Φ 〕 导体 ( ? 上的感应电荷可用下式求得 求出 方法 一 羹 ! 蹂 “Λ 一 Μ ‘ Ι 匕 “ , 一 = 2 ) ’ 1 一、 一二万 ? ? 升 一二下不一万不二布一 + 一 ‘ 一 一 ’ , ! 一 ‘ 丫 Φ 由上面分析知 ( 上有感应电荷 ) ‘ , 此时导体壳上的电荷分布为 Μ 左 3 一 ) , Μ Ν ! 二 + , ) ‘ 依电位迭加原理知空间任一点电位均由这些 电荷共同激发 , 对于球心当然不例外 , 注 意到 ( 是个等位体以及电位为零这一事实 , 有 甲 。1 业二 Ο兰 2 盛:7 ; Η 2 —干已。 。, 萝 : 尹 · ? 兀 。4 ? ? 兀 ? 几 。4 ! 一 丫 2 2 一止拦一 ? 兀 。 4 一 ? 式。 4 ? 2 + , ) ‘ 丁 几一 一一一、八 一 1 ? Π? ￡ 4 式 ! ? Θ , 二 一 ! 一 = 一 ‘ 一 一 = 十 ! 一 = 〔结论 Φ 〕置于带电导体壳内的接地中性导体 , 其表面一定有净电荷 ? ? 于匀均电场中的旅地导体 把一个接地导体球置于一均匀电场中 , 见图四 。 下面我们来分析其表面是否会出现净 的感应电荷间题 。 我们大家都知道 , 在没有接地以前 , 是出现 印 ? . 甲左 球左侧电力线来自无穷远 , 右侧电力线止于无穷远 , 于 甲右 . 甲 ? 故有 甲右 . 甲左 与静电平衡时导体是个等位体相矛盾 。 由 于通常规定甲8 3 。 , 于是解决这一个矛盾的唯 一途径只有导体球 的电 位 为零 。 既然 ( 的电位为零 , 接地以后 , 它与周围 空间的电位差不会改变 , 亦即电力线不会由于 接地而增多 , 于是( 上无净的感应电荷 ? 下面我们用电像法来定量计算这个间题 ? 我们大家都知道 , 电像法是求解点电荷与导体的静电问题的一种方法 , 其基本思想是 , 在所 考虑的区域外用几个量值适当的点电荷来摸拟所需要的边界条件 ? 有意思的是 , 几何光学 中有平面镜 , 球面镜成像的间题 , 而在静电学中 , 某些情况下的导体平面与球面也具有这 种作用 , 这里的像不过是电荷的像 , 故称电像 。 求解这类问题常用分离变数法 , 我们这里 用电像法求解 。 首先我们提出一种均匀电场点电荷的摸型 的理论 。 设有两个点电荷 士 + , 分别 位于% 3 干 处 , 如图五 #: 所示 , 则在原点 附近的一 小区域 #其线度小于 内 , 有一个平行于 % 轴的近似稳定电场 。 6 队 ,狰 0 。 Ν 一卫一一 ? ? 兀 ? Ρ 如果我们让 趋于无穷的过程中 , 使 +也 Ν 、 ? , 。 , + 二、 “ 、。 , 。 Σ 、 、 、结 增加 , 保证书二为常数的极限 , 于是上述这种 1 刀 ” ’ 沙 1 么 Ι Ο ”刁 1 曰砂 协 『叭 ’ Ο 瓜一1 1 ‘ , ‘ 近似稳定的电场就变为完全恒定了 。 如果在这 种恒定的电场中 , 我们把一个半径为 : 的接地 导体球放在原点 , 则 此 时 置入点 电荷 士 + 电 场中接地导体球表面处的边界条件可用位于 不 昔 位置处的 ? 令 。电荷来摸拟 , 这样球外空、的电位为 。二 一上一 了一 2 旦%夕 ? + 二 :Ι · 8 2 8 、 丫 Ο 一 一 、 一 一 — ? —— 一 — ? 怪 兀 匕。 Κ ! Χ 二 一 Ι 2 = ? 兀￡ 4 Α ? 一? ? 一旦一一一一一 〔#一 Φ , % , Φ Ε 4 Η 4〕 : Ι · + : Ι · + + Φ = Τ Φ : Φ = 〔#顶一 ’ , ’ 一 Φ 丁 一 ? 4 Η 。〕盖 〔#一 1 不厂 ’ , ’ , % Τ 8 ‘4〕 2 ? ) 5 〔尸 Φ , “一 % ? 4 Η Μ 〕了 下面我们利用公式 不瑞 一 # 7 , 二 一十一卜合 二 , 羚 , 一箭孺 ? 二 ! , 一 , 二 ,。 第一项分母 一“一 # = , 带 , Φ 八 、 一 天一 ? 。 。, Ν 尸 一 ’ 〔=一冬# 一 军只 , , Φ共 。。 。〕 乙 八 1 式 第二项分母 第三项分母 ‘ 『 一 ‘〔‘一 韶箫 ? Ν 一 〔‘一 韶命 , 黯二 “。” 兴? “4’〕 第四项分母 Ν 一 〔? 一 冬# 一 认一 二 。。Η。〕 芯 Ο飞 一 Φ丫 上式中忽略了在 1 , 时极限情况下等于零的项 ? 代入 甲的表达式中 则 甲 2 7 ? 兀 Ε 4 Φ+ ? 叹 Ε 4 么 心杀 , 一 ” 一 铭一 ”, : ! 八 一不一 Τ 8 二廿 一 1 Ε 4 Η 4 Φ一Υ 一兀一? Ε 4 Η 4一 0 4 : Η 。 ? 了= 一 Τ 8 Λ 匕 一 3 一 0 4 # Ε 4 8一 口 Η Ε 4 ‘/ 澎 口玲 二 一万 。 · 十 ? 兀 Ε 4 : ,

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